特立戈姆定理

朱韻·讓科拉

特立戈姆定理，即「在歐幾里得平面幾何中，任何三角形的內角和為180度」，是歐幾里得幾何中的基本定理之一。雖然這個定理看似簡單，但它的發現和正式證明標誌著人類對幾何學理解的重要進步。

發現過程

在古埃及和巴比倫文明中，早期人類已經開始使用幾何知識進行測量和建造，但這些知識主要是經驗性的，沒有形式化的證明。

古希臘是幾何學形式化和理論化的起點。希臘數學家對於幾何學的理解和研究大大超越了之前的文明。

泰勒斯（Thales）：他被認為是最早使用邏輯推理進行幾何證明的數學家之一。泰勒斯可能是最早發現三角形內角和為180度的人之一，但這一點並未有確鑿的歷史記錄。

正式證明

畢達哥拉斯學派對幾何學做出了重要貢獻。畢達哥拉斯及其弟子們研究了三角形的性質，包括內角和的定理。然而，他們的工作大多數以口述傳承，缺乏書面記錄。

《幾何原本》（Elements）：歐幾里得在其著作《幾何原本》中，系統地整理和證明了當時已知的幾何學知識。這部著作是數學史上最有影響力的書之一。

在《幾何原本》的第一卷中，歐幾里得以公理和定理的形式展示了平面幾何的基本概念。他在第32命題中正式證明了「三角形的內角和為兩個直角」（即180度）。這是基於前面的公理和其他已經證明的定理，如平行線的性質等。

歐幾里得的證明概要

歐幾里得的證明是基於他提出的五條公理（或稱為公設）和五條常識性的共同概念（或稱為通用概念）。以下是簡化的證明過程：

• 作圖：從三角形的一個頂點作出一條平行於對邊的直線。
• 使用平行線公理：由於這條直線平行於對邊，因此三角形的內角之一和相鄰的兩個外角之和等於一個直角（90度）。
• 內角和：將三個內角分別對應到平行線上的角，利用平行線的性質證明這三個角的總和為兩個直角（即180度）。
  

這一證明展示了歐幾里得方法的嚴謹性和邏輯性，成為後世幾何學研究的典範。

歐幾里得幾何的影響

歐幾里得的幾何學框架在接下來的兩千多年中成為標準的幾何學教科書和研究基礎。直到19世紀，隨著非歐幾里得幾何的發展，人們才開始認識到歐幾里得幾何是多種可能幾何系統之一。然而，在平面幾何中，特立戈姆定理仍然是基礎和重要的。

特立戈姆定理的發現和證明過程展示了古希臘數學家對邏輯推理和系統化證明的重視，為數學作為一門嚴謹科學奠定了基礎。